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golang浮点数精度丢失问题详解

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请看以下Go代码,会返回 0.7 吗?

var num float32
for i := 0; i < 7; i++{
    num = num + 0.1
}

fmt.Println(num)

答案可能出人意料,是:0.70000005

也许有人会问,是不是Go语言的问题?换其他语言试试?
OK,我们换JS试试。

浮点数.jpeg

答案依然令人意外。
除此之外,你还可以试试C、C++、Java、PHP等其他语言的float类型相加,看得到的数据是否精确;

还有,除了语言之外,你还可以在MySQL等数据库中试试float类型数据的字段叠加,得到的数据是否精确。

我可以先告诉你答案:只要是float类型的数据相加,无论在任何语言、任何数据库、任何中间件中进行加法(减法乘除法)运算,得到的数据,都不会精确。

这是浮点类型的精度丢失现象。(Loss of significance)

要了解产生这个现象的原因,就要先了解计算机是如何定义和表示float类型的。
不同于正整数类型的表示方法,float类型在计算机中的表示略显复杂,遵循的是IEEE 754标准

下面,我们就讲一下IEEE 754标准

我们首先回顾一下整数类型在计算机中的表示。
我们知道:计算机只认识0和1;那么,对于像6一样的这种正整数,我们要做十进制到二进制的转换。

精度.png

所以,十进制6最终转化为二进制为110

这很好理解,但是,如何表示 6.1等这类小数呢?
有人说了,可以找个特殊的符号,用来表示小数点.,把6.161隔开;听起来是个不错的办法。其实IEEE 754还真就是这么做的,只不过思路略有些复杂,总体思路就是:仿照用”科学计数法”!

我们再回顾一下什么是科学计数法
把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式(1≤|a|<10,a不为分数形式,n为整数),这种记数法叫做科学记数法。
也就是:1.360X10^4 这种计数方式。

我们可以仿照科学计数法,来表示浮点数,把二进制数统一表示成 1.0110101 X 2^n这种形式。
数据层面怎么表示出这种形式呢?根据IEEE 754的标准,将数据分为三部分:

total.png

从左到右分别表示:符号位(正负数)、指数位和小数位

以单精度浮点数为例,单精度浮点数一共32位(双精度64位,即平时所说的double类型),具体内部表示为:total01.png

这里有个地方要特别注意:因为数据最终要表示成 1.0110101 X 2^n这种形式,整数位在二进制下,永远都是1,所以在表示float类型的时候,直接把1给去掉了,假如有就占据一个bit的空间,既然那个bit位上永远都是1,所以干脆去掉了。

那么,具体该如何展示呢?例如小数点后的数字怎么表示?6.1能否写成110.1呢?如果能的话小数点后这个1代表什么呢?个数一?那添加几个零的话,能否认为是十、一百、一千?似乎是不可以,因为这样只能满足”视觉效果”,逻辑层面直接说不通。

要明白在小数点后的数字代表除以2后的数字,例如二进制下小数点后的第一位1代表 1 / 2等于 0.5,第二位1代表 1/2/2等于 0.25,依次类推第三位1则代表 0.125…具体请看下图:

binarytable.png

所以,给定一个小数,譬如0.1,要想得到对应的二进制数,应该是和小数点左边的计算方式相反:乘以2,记录整数位

0.1 X 2 = 0.2  0
0.2 X 2 = 0.4  0
0.4 X 2 = 0.8  0
0.8 X 2 = 1.6  1
(1.6 - 1 = 0.6)
0.6 X 2 = 1.2  1
(1.2 - 1 = 0.2) 
0.2 X 2 = 0.4  0
0.4 X 2 = 0.8  0
0.8 X 2 = 1.6  1
(1.6 - 1 = 0.6)
0.6 X 2 = 1.2  1
(1.2 - 1 = 0.2) 
0.2 X 2 = 0.4  0
0.4 X 2 = 0.8  0
0.8 X 2 = 1.6  1

... 
// 无限循环下去

所以,0.1 用二进制表示为:0.000110011001100110011...
因此 6.1 用二进制应该表示为:110.000110011001100110011...
用”科学计数法“表示为:1.10000110011001100110011... X 2^2
OK,看来小数位的数可以确定了是10000110011001100110011,即去掉整数位1后,向后截取的23位数(浮点数不精确的本质原因)。

符号位0表示正数,1表示负数,所以可以确定是6.1的符号位是0;现在符号位有了,小数位有了,只剩下指数2如的表示了,该如何表示呢?直接在8位的空间内转化为000000010

显然不可以,首先,如果指数位用原码表示,那么,针对指数位为负的情况,就得加一个符号位去表示,而且还会出现两个零的情况:000000001000000,操作起来过程复杂~

有人要问那如果使用补码呢?
如果使用补码,会出现以下情况,请看例子:

例如:1.01 X 2^-1 和 1.11 X 2^3比较大小?

     首先对比指数位, -1 和 3,分别转化为二进制数 ``111``和``011``;

     如果没有其他逻辑处理,``111``是"7",``011``是"3", 7会小于3吗?

可见使用补码,也不是很方便,于是,引用了另外一种编码方式——-移码。
先说说移码的定义:将每一个数值加上一个偏置常数(Excess / bias),通常,当编码位数为n的时候,bias取 "2^n-1" 或者 "2^n-1 - 1"

承接以上1.01 X 2^-1 和 1.11 X 2^3比较大小的例子:

例如:1.01 X 2^-1 和 1.11 X 2^3比较大小?
  
    指数为-1的则表示为 -1 + 4 = 3,二进制表示为:011

    指数为3的则表示为 3 + 4 = 7 二进制表示为:111

    7 > 3,即 111 > 011 比较完毕

就这样,浮点数”科学计数法“的指数位比较变得简单了,而且,消除了”正零“ 和 ”负零“ 不相同的问题。

因为 :

假设偏移量是:4

则移码表示的0只有:0 + 4 = 4,即“100”

IEEE 754中,指数位移码的偏移量为指数位数的 2^n-1 - 1,为127。

所以,回到6.1表示的问题上,指数位为:2 + 127 = 129,二进制表示为:10000001

因此,6.1IEEE 754单精度浮点数标准的下,表示为:

ieee754.png

好了,现在了解了浮点数IEEE 754标准的表示方法,知道为何浮点数相加总是不精确了吧?

因为浮点数很多小数在二进制环境下很多都无法完整的表示,只能截取部分数据来近似的表示,两个数相加的话,就是两个近似的数相加的和,如果相加次数足够多,精确度自然也就会越来越低

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